Kalansız Bir Bölme İşleminde Bölünen İle Bölenin Farkı

Kalansız Bir Bölme İşleminde Bölünen İle Bölenin Farkı A Ve B Çift Sayı X Ve Y Tek Syı Olduğuna Göre Daima Çift Olan - Bu makaledeki notlar: 300 bölü 12 kaçtir kalansız bir..

Pratik Matematik

DOĞAL SAYILAR
Sayma sayıları kümesine {1,2,3,…} sıfırı da katarsak doğal sayılar oluşur. Doğal sayılar ‘N’ harfi ile gösterilir:
N={0,1,2,3,…10,…100,…}

SAYI DOĞRUSU
Doğal sayıların sıfırdan başlayarak eşit aralıklarla işaretlendiği doğruya sayı doğrusu denir
Her doğal sayı:
●Solundaki sayıdan büyük,
●Sağındaki sayıdan küçüktür.

ARDIŞIK SAYILAR
Kendisinden önce ve sonra gelen sayılara bir kural ile bağlı olan sayılara ardışık sayılar denir.
Ardışık doğal sayılar:
1 fazla 1 fazla 1 fazla

0 1 2 3
Ardışık çift doğal sayılar:
2 fazla 2 fazla 2 fazla

0 2 4 6
Ardışık tek doğal sayılar:
2 fazla 2 fazla 2 fazla

1 3 5 7
DOĞAL SAYILARDA SIRALAMA
●Basamak sayısı diğerinden büyük olan sayı diğerinden büyüktür.
108>87
●Basamak sayıları aynı ise ; en büyük basamaktan başlanarak sırayla aynı adlı basamaklar karşılaştırılır.Aynı basamaktaki sayılardan hangisi büyükse o sayı büyüktür.
685>392

İKİ DOĞAL SAYI ARSINDAKİ SAYILARIN SAYISINI BULMA
İki doğal sayı arasındaki sayıların sayısı şu formülle bulunur:
-1
ÖRNEK 1: 5 ile 15 arasında kaç doğal sayı vardır?
ÇÖZÜM: 15-5=10 10-1=9 tane doğal sayı vardır
ÖRNEK 2: 305 ile 601 arasında kaç doğal sayı vardır?
ÇÖZÜM: 601-305= 296 296-1=295 tane doğal sayı vardır.
ÖRNEK 3: 447 ile 567 arasında kaç doğal sayı vardır?
ÇÖZÜM : 567-447=120 120-1=119 tane doğal sayı vardır.

BASAMAK DEĞERİ
Rakamların sayıda bulunduğu basamağa göre aldığı değere basamak değeri denir.
4 5 2 3 Basamak değeri
3 = 3.1
20 = 2.10
500 = 5.100
4000 = 4.1000
Görüldüğü gibi rakamların basamak değeri,sayı değeri ile bulunduğu basamağın çarpımına eşittir.
Ek Bilgi
*Bir sayının
Birler basamağı 1 artar veya eksilirse sayı 1 artar veya eksilir.
Onlar basamağı 1 artar veya eksilirse sayı 10 artar veya eksilir.
Yüzler basamağı 1 artar veya eksilirse sayı 100 artar veya eksilir.
ÖRNEK 1: 4758 sayısının yüzler,onlar ve birler basamaklarını 1’er artırırsak sayı kaç artmış olur?
ÇÖZÜM: Birler basamağı: 1 artar
Onlar basamağı: 10 artar
+ Yüzler basamağı: 100 artar
O halde sayı : 111 artar.
ÖRNEK 2: 2396 sayısının birler basamağını 3,onlar basamağını 4,yüzler basamağını 2 eksiltirsek sayı kaç eksilir?
ÇÖZÜM : Birler basamağı: 3 eksilir
Onlar basamağı: 40 eksilir
+ Yüzler basamağı: 200 eksilir
O halde sayı : 243 eksilir.
ÖRNEK 3: abc üç basamaklı bir sayıdır. Rakamlarının her birinin sayı değerleri üç artarsa sayı kaç artar?
ÇÖZÜM: Birler basamağı: 3 artar
Onlar basamağı: 30 artar
+ Yüzler basamağı: 300 artar
O halde sayı : 333 artar.

SAYI DEĞERİ
Rakamların sayıda bulunduğu basamağa bağlı olmadan gösterdiği değere sayı değeri denir.
4 5 2 3 Sayı değeri
3
2
5 4
Ek Bilgi
*Bir basamaklı sayıların rakamlarının basamak değerleri ile sayı değerleri aynıdır.
*İki ve daha çok basamaklı sayıların rakamlarının sayı değerleri toplamı sayının kendisine eşit değildir.
ÖRNEK 1: 3948 sayısında 9 rakamının basamak değeri ile sayı değerinin farkı nedir?
ÇÖZÜM : 3948
Basamak değeri : 900
Sayı değeri : 9
O halde fark : 891
ÇİFT DOĞAL SAYILAR
Birler basamağında 0,2,4,6,8 rakamlarından biri bulunan doğal sayılara çift doğal sayılar denir.
Çift doğal sayılar kümesi:
Ç:
Ek Bilgi
* sıfır çift doğal sayıdır.
*Çift doğal sayılar iki ile kalansız bölünürler.
*n N ise , 2n daima çift doğal sayıdır.
TEK DOĞAL SAYILAR
Birler basamağında 1,3,5,7,9 rakamlarından biri bulunan doğal sayılara tek doğal sayılar denir.
Tek doğal sayılar kümesi:
T:
Ek Bilgi
*En küçük tek doğal sayı 1’dir.
*Tek doğal sayılar 2 ile bölündüğünde 1 kalanını verir.
*n N ise, 2n+1 daima tek doğal sayıdır.

Ek Bilgi
*Ç + Ç = Ç *Ç . Ç = Ç
*Ç + T = T *T . Ç = Ç
*T + T = Ç *T . T = T
ÖRNEK 1: 2n + 4 sayısı tek doğal sayımıdır?
ÇÖZÜM : 2 . n + 4

Ç + Ç = Ç
2n + 4 çift doğal sayıdır.
ÖRNEK 2:x tek sayı ise 3x + 4 sayısı tek doğal sayımıdır?
ÇÖZÜM : 3 . x + 3
↓ ↓ ↓
T . T + T

T + T = Ç
3x + 3 çift doğal sayıdır.
ÖRNEK 3: x çift y tek doğal sayı ise ,
x2 +y2 çift doğal sayımıdır?
ÇÖZÜM : x2 + y2
↓ ↓
x . x + y . y
↓ ↓ ↓ ↓
Ç . Ç + T . T

Ç + T = T
x2 + y2 tek doğal sayıdır.
İKİ TEK DOĞAL SAYI ARASINDA KAÇ TEK DOĞAL SAYI VARDIR?
ÖRNEK : 7 ile 29 tek doğal sayıları arasında kaç tek doğal sayı vardır?
Uyarı
İki sayı arasındaki farkın yarısının bir eksiği alınır.
Büyük sayı – Küçük sayı 1
2
ÇÖZÜM : 29 – 7 = 22 22 : 2 = 11
11 – 1 = 10
İKİ ÇİFT DOĞAL SAYI ARASINDA KAÇ ÇİFT DOĞAL SAYI VARDIR?
ÖRNEK : 8 ile 40 doğal sayıları arasında kaç doğal sayı vardır?
Uyarı
İki sayı arasındaki farkın yarısının bir eksiği alınır.
Büyük sayı – Küçük sayı
2
ÇÖZÜM : 40 – 8 = 32 32 : 2 = 16
16 – 1 = 15

ÜSLÜ DOĞAL SAYILAR
23, 45, 56, şeklindeki sayılara üslü doğal sayılar denir.
Üslü Sayıların Özellikleri
1-Bir sayıda üs yazılmamışsa üs 1 dir.
2 = 21 5 = 51 24 = 241
2-Üssü 0 olan sayma sayıları 1 e eşittir
20= 1 50 = 1 00 ≠ 1
3-Üssü bir olan sayılar tabana eşittir.
21= 2 51= 5 01= 1
4-1 sayısının bütün kuvvetleri 1 dir.
10= 1 16= 1 1567 =1
5-Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken ortak taban yazılır, sonra üsler toplanıp üs olarak yazılır.
Bir Doğal Sayıyı Üslü Biçimde Yazma
ÖRNEK : 5 . 5 = 25

1.çarpan 2.çarpan çarpım
Bu örneği incelediğimizde birinci ve ikinci çarpanların eşit olduğunu görüyoruz.O halde ; 25 sayısı , 5 in kendisi ile çarpımı (karesi) demektir.Bu çarpma işlemi ‘52 = 5 . 5 = 25 ’ şeklinde yazılır.‘5 in karesi 25 tir ’ diye okunur.Bu çarpma işleminde ; 5 e taban , 2 ye üs , 25 e çarpım denir.
Üslü Sayılarda Sıralama
ÖRNEK 1 : 20,21,22,23,24,25 sayılarını sıralayınız.
ÇÖZÜM: 20= 1 , 21= 2 , 22= 4 , 23=8 ,24= 16 , 25= 32 dir. 1 85 . 85 eşitsizliğini sağlayan en büyük b doğal sayısı kaçtır ?
ÇÖZÜM 3:
b > 85 . 85
b > 7225
b { 7226 , 7227 , 7228 ,…}

en küçük
b = 7226
DOĞAL SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ
6 . = 30 işleminde ‘ ‘ yerine yazılacak sayının ‘ 5 ‘ olduğunu biliyoruz.
Bu işlemde 5 i bulmak için yapılan işleme bölme işlemi denir.
Kalansız Bölme
Kalanı sıfır olan bölmeye kalansız bölme denir.
Bölünen 12 3 Bölen
12 4 Bölüm
0 Kalan
Yukarıdaki bölme işleminde ;
12 = 3 . 4
olur
Bölünen = Bölen . Bölüm
Kalanlı Bölme
Kalanı sıfırdan farklı olan bölmeye kalanlı bölme denir.
Bölünen 17 5 Bölen
15 3 Bölüm
2 Kalan
Yukarıdaki bölme işleminde;
17 = ( 5 . 3 ) + 2

Bölünen = ( Bölen . Bölüm) + Kalan
Ek Bilgi
*Kalanlı bölmede kalan daima bölenden küçük bir sayıdır.
*Bölmenin sağlaması;

Bölünen = ( Bölen . Bölüm) + Kalan
Bölme İşleminin Özellikleri
Kapalılık Özelliği
Doğal sayılar kümesinde bölme işleminin kapalılık özelliği yoktur.Çünkü her bölme işleminin sonucu doğal sayı değildir.
8 : 4 = 2 N
4 : 8 = 0,5 N

Değişme Özelliği
Doğal sayılar kümesinde bölme işleminin değişme özelliği yoktur
6 : 3 = 2
‘ dır.

3 : 6 = 0,5
Birleşme Özelliği
Doğal sayılar kümesinde bölme işleminin birleşme özelliği yoktur.
( 8 : 4 ) : 2 8 : ( 4 : 2 )

2 : 2 8 : 2

1 4
Sonuçlar farklı olduğundan ;

olur.
Etkisiz Eleman
Doğal sayılar kümesinde bölme işleminin etkisiz elemanı yoktur.
7 : 1 = 7 N
7 : 1 ≠ 1 : 7 ‘dir.
1 : 7 = 7 değil.

0 : 5 = 0 değil
0 : 5 ≠ 5 : 0 ‘ dir.
5 : 0 = 0 değil
‘0’ hariç her doğal sayının kendisine bölümü 1’ e eşittir.
● 5 : 5 = 1
● 17 : 17 = 1
● 38 : 38 = 1
Bir doğal sayının ‘1’ e bölümü , sayının kendisine eşittir.
● 0 : 1 = 0
● 9 : 1 = 9
● 7490 : 1 = 7490
‘0’ ın sayma sayılarına bölümü sıfırdır.
● 0 : 5 = 0
● 0 : 7891 = 0
● 0 : 2746 = 0
Bir doğal sayı sıfıra bölünemez.
● 0 : 0 = ?
Bölünemez.
● 25 : 0 = ?
10 , 100 , 1000 , … ile bölmek;
● 10 ‘ a bölerken bir sıfır silinir.
● 100 ’ e bölerken iki sıfır silinir.
● 1000 ‘ e bölerken üç sıfır silinir .

ÇÖZÜMLÜ SORULAR
ÖRNEK 1: 255 : x = 51 işleminde x yerine hangi sayı yazılmalıdır?
ÇÖZÜM 1:
x yerine yazılacak sayıyı bölme işleminin sağlaması eşitliğinden yararlanarak bulalım.
Bölünen = Bölen . Bölüm

255 = x . 51
Bu eşitlikteki işlem çarpmadır.Çarpmanın ters işlemi bölme olduğundan x yerine yazılacak sayıyı bulmak için bölme yapılır.
255 = x . 51
x = 255 : 51
x = 51 olur.
ÖRNEK 2:Bir bölme işleminde bölünenle bölenin farkı 70 bölüm 6 ‘ dır. Bölen sayı kaçtır?
ÇÖZÜM 2:
Bölünen = Bölen . Bölüm

Bölünen = 6 . Bölüm
Bölünen = 6 . Bölüm ( Bölünen bölümün
6 katıdır.)

Fark = 70

Bölünen sayı:
Bölen sayı :
Bölen 1 kat ise , bölünen 6 kattır.
6 kat – 1 kat = 5 kat farktır.
5 kat = 70
bölen = 1 kat = 70 : 5
bölen = 14
ÖRNEK 3: Kalansız bir bölme işleminde bölünen ile bölenin toplamı 300 , bölüm 5 ise bölen kaçtır?
ÇÖZÜM 3:
Bölünen + Bölen = 300

Bölüm . Bölen + Bölen = 300

5 . Bölen + Bölen = 300

6 Bölen = 300
Bölen = 300 : 6
Bölen = 50

ÖRNEK 4: Bir bölme işleminde bölünen 305 , bölüm 30 , kalan 5 ise bölen kaçtır?
ÇÖZÜM 4:
Bölünen = ( Bölen . Bölüm ) + Kalan

305 = ( Bölen . 30 ) + 5
305 – 5 = Bölen . 30 ( + ‘nın
– ‘ dir.)
300 = Bölen . 30
Bölen = 300 : 30 (çarpmanın tersi bölme)
Bölen = 10 olur.
144 36
12 3
16 ?
ÖRNEK 5:

Yukarıdaki sayı matrisinde sayılar soldan sağa bir kurala ,yukarıdan aşağıya başka bir kurala göre sıralanmıştır.Buna göre ? yerine hangi sayı gelmelidir?
144 36 A
12 3
16 ?
1 . sütun 2 . sütun 3 . sütun
ÇÖZÜM 5:
: 4 : 4

1 . Satır : 144 : 4 = 36
2 . Satır : 12 : 4 = 3
Satır kuralı : 4’e bölmedir.
A = 36 : 4 = 9 olmalıdır.
2 . Sütun : 36 : 3 = 12
1 . Sütun : 144 : 3 = 48 ve 48 : 3 = 16 ‘ dır.
Sütun kuralı : 3’ e bölmedir.
? = 3 : 3 = 1

DOĞAL SAYILARLA İLGİLİ PROBLEMLER
VE ÇÖZÜMLERİ

1 -) Üç kardeşin yaşları toplamı 52 dir.Ortanca küçükten 3 yaş büyük , büyükten 10 yaş küçük ise, ortanca kaç yaşındadır?
ÇÖZÜM:
3 + 3 + 10 = 16 ( fazlalıklar toplamı)
52 – 16 = 36
36 : 3 = 12 küçüğün yaşı
12 + 3 = 15 ortancanın yaşı

2 -) Canan ile Nur ‘ un paraları toplamı 1200000 TL ‘ dir.Canan Nur ‘a 200000 TL verirse paraları eşit oluyor. Canan parası kaç TL ‘ dir ?
ÇÖZÜM:
1200000 : 2 = 600000 (paraları eşit olsaydı her birine düşen pay)
600000 + 200000 = 800000 Canan’ ın parası)

3 -) Bir alışverişte, 5 düzine bardak alınmıştır.Bardakların tanesi 125 TL daha ucuz olsaydı 6 düzine bardak alınabilecekti.Buna göre bardağın bir tanesi kaç liraya alınmıştır ?
ÇÖZÜM:
5 düzine = 5 . 12 = 60 adet
6 düzine = 6 . 12 = 72 adet
72 – 60 = 12
60 . 125 = 7500 ( 12 bardak parası )
7500 : 12 = 625 ( ucuz olsaydı 1 bardağın parası )
625 + 125 = 750 ( 1 bardak parası )

4 -) A ve B şehirleri arası 720 km ‘dir.
A’ dan B’ ye doğru aynı anda bir kamyon ile bir otobüs hareket ediyor.Kamyonun saatteki hızı 60 km , otobüsün saatteki hızı 90 km’ dir.Otobüs B şehrine vardığında kamyonun kaç km yolu vardır ?
ÇÖZÜM:
720 : 90 = 8 ( otobüsün yolculuğu bittiği zaman)
60 . 8 = 480 (otobüsün yolculuğu bittiğinde kamyon gittiği yol)
720 – 480 = 240 ( kalan yol )

5 -) Aralarında 800 km uzaklık bulunan iki şehirden karşılıklı hareket eden iki arabadan birinin saatteki hızı 70 km , diğerininki ise 90 km ‘ dir.Bu iki araba kaç saat sonra karşılaşırlar ?
ÇÖZÜM:
90 + 70 = 160 ( ikisinin bir saatte kât ettiği yol )
800 : 160 = 5 ( karşılaşacakları zaman )

6 -)Bir sütçü litresi 200000 TL
olan 10 litre süte , 6 litre başka bir süt katarak 2900000 TL ‘ lik bir karışım hazırlıyor. Karışımdaki 6 litrelik sütün litresi kaç TL ‘ dir ?
ÇÖZÜM:
200000 . 10 = 2000000 ( 10 litrenin tutarı )
2900000 – 2000000 = 900000 ( 6 litrenin tutarı )
900000 : 6 = 150000 (1 litrenin tutarı )

7 -) Bir şoför radyatörüne her iki litre su için bir litre alkol koymaktadır.18 litrelik bir karışım için bu şoförün kaç litre alkole ihtiyacı vardır ?
ÇÖZÜM:
2 litre su + 1 litre alkol = 3 litre karışım
18 litre karşımda ; 18 : 3 = 6 adet var
6 . 1 = 6 ( şoförün ihtiyaç duyduğu alkol miktarı)

8 -) Bir bakkal kilogramı 800000 TL olan nohuttan 6 kg , kilogramı 700000 TL olan nohuttan 4 kg , kg ‘ mı 600000 TL olan nohuttan 10 kg karıştırarak bir karışım yapıyor. karışımın kilogramı kaç TL olur ?
ÇÖZÜM:
800000 . 6 = 4800000
700000 . 4 = 2800000
600000 . 10 = 6000000
4800000 + 2800000 +6000000=13600000
10 + 4 + 6 = 20
13600000 : 20 = 680000

9 -) Can , Ercan ve Kayacan ‘ın yaşlarının aritmetik ortalaması 16 ‘ dır. Can 15 , Ercan 17 yaşında olduğuna göre Kayacan kaç yaşındadır ?
ÇÖZÜM:
Üçünün yaş ortalaması = 16
Üçünün yaşları toplamı = 16 . 3 = 48
Can ve Ercan ‘ın yaşları toplamı =
15 + 17 = 32
Kayacan ‘ın yaşı = 48 – 32=16

10 -) Bir boyacı iki günde 35 m2 duvar boyuyor. Çırağı ise üç günde 30 m2 duvar boyuyor.İkisi birlikte 12 gün çalışırlarsa kaç m2 duvar boyarlar ?
ÇÖZÜM:
Usta 12 günde ; 12 : 2 = 6
6 . 35 = 210 m2 boyar
Çırak 12 günde ; 12 : 3 = 4
4 . 30 = 120 m2 boyar
İkisi beraber ; 210 + 120 = 330 m2 boyar

11 -) Mevcudu 42 kişi olan bir sınıf , gezi yapmak için bir otobüs kiraladı.
Bu geziden 12 kişi vazgeçince ;
geziye katılanların her biri , payına düşenden 3200000 TL fazla ödedi. Buna göre otobüs kaç TL ‘ye kiralanmıştır ?
ÇÖZÜM:
Geziye katılacaklardan 12 kişi ayrıldığında , 42 – 12 = 32 kişi kalıyor. Her biri 3200000 TL fazlalığı , 12 kişinin ödemesi gereken para olarak ödüyor.
30 . 3200000 = 96000000
96000000 : 12 = 8000000 ( Ayrılan olmasaydı herkesin ödeyeceği para )
Otobüsün toplam kirası =
42 . 8000000 = 336000000 TL veya
8000000 + 3200000 = 11200000 TL
( Ayrılmayan kişilerin ödeyeceği para)
11200000 . 30 = 336000000 TL ‘ dir.

12 -) 34 = y + 40 ise y ‘nin değeri kaçtır?
ÇÖZÜM:
34 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81 ‘ dir.
81 = y + 40 ise
y = 81 – 40
y = 41 olur.

13 -) 160 tane ceviz üç kardeş arasında paylaşılıyor.Büyük kardeş , küçük kardeşten 30 fazla alıyor. Ortanca kardeş ise , büyük kardeşten 10 ceviz az alıyor. Buna göre , her birinin payına düşen cevizi bulunuz.
ÇÖZÜM:
120 cevizin paylaşımı ;

Küçük kardeş :
Ortanca kardeş:
Büyük kardeş :

30 ceviz
Büyük kardeş ortancadan 20 tane ceviz,
küçükten 30 tane ceviz fazla alırsa ;
ortanca kardeş , küçükten 30 – 20 = 10
ceviz fazla alır. Fazlalıkların toplamını
bütünden çıkarırsak , paylar eşitlenir.
30 + 10 = 40 ( fazlalıklar)
160 – 40 = 120
120 : 3 = 40 ( küçük kardeşin payı)
40 + 10 = 50 ( ortanca kardeşin payı)
50 + 20 = 70 ( büyük kardeşin payı)

14 -) Saatteki hızları ortalama 70 km / sa
ve 80 km / sa olan iki otobüs aynı şehirden , aynı anda , zıt yönde , farklı şehirlere gitmek üzere hareket ediyorlar. 5 saat sonra , aralarındaki uzaklık kaç km olur ?
ÇÖZÜM:
70 + 80 = 150 ( ikisinin 1 saatte aldığı yol )
150 . 5 = 750 ( 5 saat sonunda aralarındaki uzaklık)

15 -) 98 ile 263 sayıları arasında kaç tana doğal sayı vardır ?
ÇÖZÜM:
( Büyük sayı – Küçük sayı ) – 1
( 263 – 98 ) – 1

263 – 98 = 165
165 – 1 = 164

alıntıdır…

Sponsorlu Bağlantılar

Kalansız Bir Bölme İşleminde Bölünen İle Bölenin Farkı İçin Yorum Yap